最初になぜ DS diagram を一般化するかについて述べる。
Dehn suegery でもそうだが，多様体を表現する方法で基本的な事は， 2つの表現が同相な多様体を与えるとき，
その2つの表現の間にどの様な関係があるかという問題である。 Dehn suegery
の場合は2つの表現が同相な多様体を与える事と， ある種の move 達の有限列で移りあう事が同値である事が知られている。
DS diagram についてはその様な結果は得られていないが，ほぼ同じ概念である
flow-spine (あるいは E-data)に関しては石井により得られている。 flow-spine
を球面上の diagramに 翻訳すると， 多くの場合 DS diagram になるのだが，
特別の場合はそうはならない。 そこで DS diagram の概念を拡張する事により，この結果を利用できるようにしたい。
これが拡張する意図である。
ここでグラフといったら vertex を含まない loop(hoopとも呼ばれる) も許す事ことにする。
定義
$\Delta=(S,G,f)$ が generalized DS diagram (一般化された DS diagram
略して GS と書く) であるとは以下の条件を満たす事をいう。
$S=\bigcup_{i=1}^pS_i^2$ は有限個の２球面 の集まり，$G$ は$S$上の 3-regular
なグラフで， $f$ は $S$ からある fake surface $P$ への onto local homeomorphism
で 次を満たす。
(1)$f|_{V(G)}:V(G)\to V(P)$ は pointwise に４対１
(2)$f|_{E(G)}:E(G)\to E(P)$ は pointwise に３対１
(3)$f|_{S-G}:S-G\to F(P)$ はpointwise に２対１
ただし，$V(G),V(P)$ は$G$ および $P$ の頂点， $E(G),E(P)$ は open edge達，$F(P)$
は $P$ の open face 達である。
$B=\bigcup_{i=1}^pB_i^3$ を有限個の３球体で， $\partial B_i^3=S_i^2$
と考えたとき, $B/f$ を $M(\Delta)$ と書く。
拡張は形式的に行われるが，ここで1つ問題が発生する。 通常 DS diagram を議論をするとき，我々は写像$f$を用いず， ラベル付のグラフに関して議論する。 DS diagram の場合は，ラベル付のグラフから DS diagram が 同値を除き一意に決まり，多様体も一意に決まる。 しかしGSの場合にこれは成立しない。 我々は成立しない場合の type を次の様に特定できる。
定理
２つの GS $\Delta=(S,G,f)$ と $\Delta'=(S,G',f')$
が同じラベル付グラフを 決めるとき， 次のA,B,C のtypeを除くと $M(\Delta)$
と $M(\Delta')$ は同相である。
ラベル付グラフが多様体を一意的に決めない例外となる 3つのタイプは次の通りである。
A
$X,Y$ の部分には， empty も含め何か subgraph が存在している。 ラベル $A$ を２つもつ ２つの annulus が それぞれ自分自身と 張り合わせられる場合は $M(\Delta)=M_1\#P^3\#P^3$ となる。 ２つがそれぞれ他の annulus と張り合わせられる場合は $M(\Delta)=M_1\#S^2\times S^2$ となる。
B
いずれの場合も ラベル $A,B$ を持つ annulus は 自分と隣り合わない annulus に張り合わされる。 $AB$ というラベルを持つ 2つの annulus が張り合わさっている部分 のラベル $A$ の少し外の部分を境界とする proper な disk を $D_1,D_2$ とする。 $f(D_1\cup D_2)$ が separating $2$-sphere のときは多様体は 一意的で $M(\Delta)=S^2\times S^1\#N_1\#N_2$ となり， そうでないとき一方は $M(\Delta)=M_1\#S^2\times S^1\#S^2\times S^1$，他方は $M(\Delta)=M_1\#S^2\times S^1\#S^2_\tau\times S^1$となる。 ただし，$S^2_\tau\times S^1$ は $S^1$ 上の twisted $S^2$--bundle。
C
$3W$と書かれた loop は $f$ で行き先の loop に3重被覆として写される。 同一視の仕方により$M_1\#L(3,1)$ または $M_1\#L(3,2)$ になる。