最初になぜ DS diagram ��眠修垢��について述べ���
Dehn suegery でもそうだが，多様体�集修垢��法で�榲�な�蓮� 2つの表現が同相な多様体�燭┐�箸�，
その2つの表現の間にどの様な関係があ���という問題であ��� Dehn suegery
の��腓�2つの表現が同相な多様体�燭┐�函� あ���� move 達の有限�念椶蠅△���同値であ���知ら��討い��
DS diagram についてはその様な��未脇世蕕�討い覆い�，ほぼ同じ概念であ��
flow-spine (あ��い� E-data)に関しては石井によ��世蕕�討い�� flow-spine
�緻名紊� diagramに 翻�垢�函� 多くの��� DS diagram にな��里世�，
特別の��腓呂修Δ呂覆蕕覆ぁ� そこで DS diagram の概念�板イ垢�砲茲蝓い海侶�未僂任���茲Δ砲靴燭ぁ�
こ���拡張す��嫂泙任△��
ここでグラフといった�� vertex �泙泙覆� loop(hoopとも呼ば���) も�校海箸砲垢��
���
$\Delta=(S,G,f)$ が generalized DS diagram (��眠修気�� DS diagram
略して GS と��) であ��箸楼焚爾両��たす�いΑ�
$S=\bigcup_{i=1}^pS_i^2$ は有限個の２球面 の集まり，$G$ は$S$上の 3-regular
なグラフで， $f$ は $S$ からあ�� fake surface $P$ への onto local homeomorphism
で 次��たす。
(1)$f|_{V(G)}:V(G)\to V(P)$ は pointwise に４対１
(2)$f|_{E(G)}:E(G)\to E(P)$ は pointwise に３対１
(3)$f|_{S-G}:S-G\to F(P)$ はpointwise に２対１
ただし，$V(G),V(P)$ は$G$ および $P$ の頂点， $E(G),E(P)$ は open edge達，$F(P)$
は $P$ の open face 達であ���
$B=\bigcup_{i=1}^pB_i^3$ ��限個の３球体で， $\partial B_i^3=S_i^2$
と考えたとき, $B/f$ �� $M(\Delta)$ と��。
拡張は形式的に行�����，ここで1つ問題が発生す��� 通�� DS diagram �掴世垢�箸�，我々は写��$f$�僂い此� ラベ��佞離哀薀佞亡悗靴撞掴世垢�� DS diagram の��腓蓮ぅ薀戰�佞離哀薀佞��� DS diagram が 同値�����佞坊茲泙蝓ぢ人預里皸�佞坊茲泙�� しかしGSの��腓砲海�論�立しない。 我々は成立しない��腓� type �，陵佑貌団蠅任����
���
２つの GS $\Delta=(S,G,f)$ と $\Delta'=(S,G',f')$
が同じラベ��侫哀薀佞� 決め��箸�， 次のA,B,C のtype���と $M(\Delta)$
と $M(\Delta')$ は同相であ���
ラベ��侫哀薀佞�多様体��嫖�に決めない例外とな�� 3つのタイプは次の通りであ���
A
$X,Y$ の��には， empty も含め何か subgraph が存在してい��� ラベ�� $A$ �欧弔發� ２つの annulus が そ��召��分自身と 張��腓�擦蕕���腓� $M(\Delta)=M_1\#P^3\#P^3$ とな��� ２つがそ��召�召� annulus と張��腓�擦蕕���腓� $M(\Delta)=M_1\#S^2\times S^2$ とな���
B
いず��両�腓� ラベ�� $A,B$ ��つ annulus は 自分と隣��腓�覆� annulus に張��腓�気��� $AB$ というラベ���つ 2つの annulus が張��腓�気辰討い�� のラベ�� $A$ の少し外の����界とす�� proper な disk �� $D_1,D_2$ とす��� $f(D_1\cup D_2)$ が separating $2$-sphere のときは多様体は ��嫖�で $M(\Delta)=S^2\times S^1\#N_1\#N_2$ となり， そうでないとき���は $M(\Delta)=M_1\#S^2\times S^1\#S^2\times S^1$，他��は $M(\Delta)=M_1\#S^2\times S^1\#S^2_\tau\times S^1$とな��� ただし，$S^2_\tau\times S^1$ は $S^1$ 上の twisted $S^2$--bundle。
C
$3W$と����� loop は $f$ で行き先の loop に3重��い箸靴銅未気��� 同���了妬�によ��$M_1\#L(3,1)$ または $M_1\#L(3,2)$ にな���