このとき，タングル$T(R)$が，境界を固定しないイソトピーで$T({\bf 0})$と $T({\binf})$が同値になるという条件をみたすとき，次の定理1--3が成り立つ． （$\bf 0$，${\binf}$はそれぞれ，0-タングル，${\inf}$-タングル）

定理1．次の(i)--(iii)の各絡み目射影図の対の Kauffman のブラケット多項式は等 しい．
(i) $DT(R, R^{*})(=DT)$, $DT(R_{\perp}^{*}, R_{\perp})$.
(ii) $DT(R, R)$, $DT(R_{\perp}, R_{\perp})$.
(iii) $DT(R, R_{\perp}^{*})$, $DT(R^{*}, R_{\perp})$.

定理2．定理1(i)--(iii)の各絡み目の対の HOMFLY多項式は等しい．

定理3．定理1(ii)の絡み目の対のQ多項式は等しい．

以上の結果はプレプリント
KANENOBU, Taizo: Tangle surgeries on the double of a tangle and link polynomials
にまとめています．
大阪市立大学のホームページで見ることができます．
http://math01.sci.osaka-cu.ac.jp/preprint/index.html